行列

2022.7.10

Math

行列式の明示公式

$n$ 次正方行列 $A$ について、

\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} (\rm{sgn}\ \sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{\sigma (i), i}

$S_n$ は置換群であり、 $n$ 文字の置換全体を表す。

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

正方行列 $A$ について、

\det( {}^t\! A) = \det(A)

正則行列 $A, B$ について、

\det(AB) = \det(A)\det(B)

$A$ が正則行列ならば、

\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}

\det(A) \ne 0

正方行列 $A$ の小行列式 $M_{i,j}$ は、 $A$ の $i$ 行目と $j$ 列目を取り除いて得られる小行列の行列式である。

余因子 $\tilde{a}_{i,j}$ は $M_{i,j}$ に $(-1)^{i+j}$ を掛けて得られる。

\tilde{a}_{i,j} = (-1)^{i+j} M_{i,j}

余因子行列とは、 $(i,j)$ 成分が $\tilde{a}_{j,i}$ となっている $n$ 次正方行列のことである。

正則行列 $A$ について、

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\tilde{A}

$\tilde{A}$ は $A$ の余因子行列である。

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

の逆行列は、 $\det(A) \ne 0$ のとき存在して、

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

正則行列 $A$ に対して、 $XA = AX = E$ を満たす正方行列 $X$ が存在するとき、 $A$ は正則行列であるといい、 $X$ は $A$ の逆行列と呼ぶ。

1. 正則行列 $A, B$ について、

(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}

2. 正則行列 $A$ について、

(A^{-1})^{-1} = A