Gram–Schmidtの直交化法
直行化
基底\{\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}, ..., \boldsymbol{v_n}\}から直交基底を求める。
\begin{aligned}
\boldsymbol{u_1} &= \boldsymbol{v_1} \\
\boldsymbol{u_2} &= \boldsymbol{v_2} - \frac{(\boldsymbol{v_2}, \boldsymbol{u_1})}{||\boldsymbol{u_1}||^2} \boldsymbol{u_1} \\
\boldsymbol{u_3} &= \boldsymbol{v_3} - \frac{(\boldsymbol{v_3}, \boldsymbol{u_1})}{||\boldsymbol{u_1}||^2} \boldsymbol{u_1} - \frac{(\boldsymbol{v_3}, \boldsymbol{u_2})}{||\boldsymbol{u_2}||^2} \boldsymbol{u_2} \\
... \\
\boldsymbol{u_k} &= \boldsymbol{v_k} - \frac{(\boldsymbol{v_k}, \boldsymbol{u_1})}{||\boldsymbol{u_1}||^2} \boldsymbol{u_1} - \frac{(\boldsymbol{v_k}, \boldsymbol{u_2})}{||\boldsymbol{u_2}||^2} \boldsymbol{u_2} - ... - \frac{(\boldsymbol{v_k}, \boldsymbol{u_{k-1}})}{||\boldsymbol{u_{k-1}}||^2} \boldsymbol{u_{k-1}}
\end{aligned}
この手順により、直交基底\{\boldsymbol{u_1}, \boldsymbol{u_2}, ..., \boldsymbol{u_n}\}が得られる。
正規化
得られた直交基底\{\boldsymbol{u_1}, \boldsymbol{u_2}, ..., \boldsymbol{u_n}\}を正規化する。
\boldsymbol{e_k} = \frac{\boldsymbol{u_k}}{||\boldsymbol{u_k}||}
よって、正規直交基底\{\boldsymbol{e_1}, \boldsymbol{e_2}, ..., \boldsymbol{e_n}\}が得られる。