基本行列

2022.10.9

Math

基本行列 $P_{i,j}$

$(n, n)$ 型単位行列の $i$ 行目と $j$ 行目を入れ替えた行列を $P_{i,j}$ とする。

P_{i,j} = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 0 & & 1 & & \\ & & & \ddots & & & \\ & & 1 & & 0 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{bmatrix}

この行列をある $(m, n)$ 型行列に左から掛けると、 $i$ 行目と $j$ 行目が入れ替わる。右から掛けると、 $i$ 列目と $j$ 列目が入れ替わる。

$(n, n)$ 型単位行列の $(i, i)$ 成分を $c$ とした行列を $Q_i(c)$ とする。

Q_{i}(c) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & c & & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{bmatrix}

この行列をある $(m, n)$ 型行列に左から掛けると、 $i$ 行目が $c$ 倍される。右から掛けると、 $i$ 列目が $c$ 倍される。

$(n, n)$ 型単位行列の $(i, j)$ 成分を $c$ とした行列を $R_{i,j}(c)$ とする。

R_{i,j}(c) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & \cdots & c & & \\ & & & \ddots & \vdots & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{bmatrix}

この行列をある $(m, n)$ 型行列に左から掛けると、 $i$ 行目に $j$ 行目の $c$ 倍が加わる。右から掛けると、 $j$ 列目に $i$ 列目の $c$ 倍が加わる。

$P_{i,j}, Q_{i}(c), R_{i,j}(c)$ は正則である。次が成り立つ。

P_{i,j}^{-1} = P_{i,j}

Q_{i}(c)^{-1} = Q_{i}(c^{-1})

R_{i,j}(c)^{-1} = R_{i,j}(-c)

任意の行列 $A$ は、行基本変形と列基本変形を施すことで、階数標準形に変形することができる。

\begin{bmatrix} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & & 0 & & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & 0 \\ \end{bmatrix}

$\rm{rank}\ A$ 個の対角成分が1であり、残りは0である。

正方行列 $A$ が正則であるための必要十分条件は、 $\rm{rank}\ A = n$ となることである。

また、正則行列 $A$ は基本行列の積によって表される。 $A$ から単位行列を得る変形を単位行列に施すことで、 $A^{-1}$ が得られる。